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什么是平稳过程

统计特性不随时间的推移而变化的随机过程。例如，一台稳定工作的纺纱机纺出的纱的直径大小，受各种随机因素影响，在某一标准值周围波动，在任意若干时刻处，直径之间的统计依赖关系，仅与这些时刻之间的相对位置有关，而与其绝对位置无关，因而直径的变化过程可以看作一个平稳过程。具有近似于这种性质的随机过程，在实际中是大量存在的。

平稳过程的基本理论是在20世纪30～40年代建立和发展起来的，并已相当完善。其后的研究主要是向某些特殊类型以及多维平稳过程、平稳广义过程和齐次随机场等方面发展。平稳过程理论在无线电技术和自动控制等领域有着广泛的应用，并且是诸如时间序列分析、信号分析、滤波、预测理论以及控制理论等应用学科的重要工具。

设X＝(X(t)，t∈T)是一个取复数值的随机过程，其中指标集T为整数或实数全体(分别称为离散指标和连续指标)。如果对任意的自然数n及任意的t1，t2，…tn，

的概率分布与(X(t1)，X(t2)，…，X(tn))的概率分布相同，则称X为严平稳过程。如果二阶绝对矩

，而且对任意的t，τ∈T，均值（见数学期望）EX(t)呏m（常数），协方差

（与τ无关），则称X为宽平稳过程。Г(t)称为X 的协方差函数。一个严平稳过程，如果它的二阶矩有穷，则一定也是宽平稳的(见矩)。

宽平稳过程的谱分解

将傅里叶分析方法应用于宽平稳过程，可以把过程表成有不相关随机振幅的简谐振动的叠加，这就产生了过程按频率的谱分解，它是宽平稳过程理论的一个基本结果。

宽平稳过程的协方差函数是非负定的，即对任意t1，t2，…tn∈T，任意复数z1，z2，…zn，都有

。根据这一性质，对于离散指标，Г(t)和过程本身分别有如下的谱分解式：

。

对于连续指标，如果还假设过程为均方连续的，即对任意

（它的一个等价条件是Г(t)为连续函数），则有谱分解式：

，

上面的F(λ)是区间[-

，

]或(-∞，∞)上的有界非降函数，并可取为右连续的，称为过程X的谱分布函数。η(λ)是相应区间上的正交增量过程，即满足Eη(λ)呏0，且当

时，有

及

。

对η 的积分是随机积分中一种常见的对正交增量过程的积分。如果 F(λ)绝对连续，则称它的导函数 ƒ(λ)＝F┡(λ)为过程X 的谱密度(或功率谱密度)。最重要的特例是有理谱密度，对于离散指标，它的一般形式是

，

式中多项式

与

当|z|≤1时不为0。这时过程X 称为自回归滑动平均序列，通常简记成ARMA(p，q)序列，它满足如下的随机差分方程：

式中(ξ(t)，t∈T)为正交随机序列，即满足Eξ(t)呏0，当t≠s时，

，且

。对于连续指标，有理谱密度的一般形式是

，

式中q<p，且多项式

与

当z有非负实部时不为0。从物理上看，上述性质表明，具有有理谱密度的平稳过程可以看成白噪声（即具有常值谱密度的平稳过程）输入一个有限阶非时变线性系统所得的输出。这一特性使得它们在实际应用中占有重要的地位。

从平稳过程的谱分解可以推出一些重要的结论。例如均方大数律 (见大数律)：如果宽平稳过程X的谱分布函数F(λ)在λ=0处连续，则在均方收敛的意义下，成立

，

。

后一积分是均方随机积分。

宽平稳过程的线性预测

这是由Α.Η.柯尔莫哥洛夫和N.维纳在1940年左右提出并解决的问题。对于一个均值为0的宽平稳过程X=(X(t)，t∈T)，随机变量集{X(s)，β∈T，s≤t｝表示到时刻t为止所能观测到的过程的历史，用Mt(X)表示由这些随机变量的一切有限线性组合及其均方极限所构成的希尔伯特空间。设τ>0，所谓"τ步"线性预测，就是要用Mt(X)中的随机变量来估计还未曾观测的X(t+τ)(t+τ∈T)；而线性最优预测，就是要在Mt(X)中选择

(t，τ)，使预测误差的方差

达到最小。可以证明

(t，τ)惟一存在，它就是X(t+τ)在空间

上的投影。如果对任意的t，β∈T，都有

=Ms(X)，则称过程为决定的或奇异的，这时

，即可以无差误地进行预测；如果所有Mt(X)的公共部分仅包含零，即

，则称过程为纯非决定的或正则的。一般的宽平稳过程 X可以分解成相互正交的两部分之和：

，其中Xr是纯非决定的宽平稳过程，Xs是决定的宽平稳过程。这时，Xr可以按离散指标或连续指标而分别表为一个正交随机序列(ξ(t)，t∈T)的向后的滑动和：

，

或一个正交增量过程 (ξ(t)，t∈T) 的向后的滑动积分（对正交增量过程的积分）:

，

而且对任何t∈T有

。宽平稳过程的这一分解称为沃尔德分解。由此可得，对于离散指标，

，

；

对于连续指标，

，

。

此外，宽平稳过程X本身为纯非决定的充分必要条件是，它有谱密度ƒ(λ)，而且满足

，

。

具有有理谱密度的过程是纯非决定过程的重要特例。

多维宽平稳过程

设X(t)=(X1(t)，X2(t)，…，Xk(t))┡是由k个分量组成的，而且均值EX(t)呏m为常值向量，协方差阵E(X(t+τ)-m)(X(τ)-m)*=Г（t）与τ无关，则称X=(X(t)，t∈T)为k维宽平稳过程，其中记号“┡”与“*”分别表示向量或矩阵的转置与共轭转置。这时，Г(t)与X(t)在形式上有和一维情形一样的谱分解，只是 F(λ)（或ƒ(λ)）变为k×k的函数矩阵，它的对角线元就是各分量本身的谱分布（或密度）函数，而它的非对角线元称为相应分量的互谱分布（或密度）函数，而且ƒ(λ)=ƒ*(λ)是非负定矩阵。关于多维宽平稳过程的线性预测问题，也有类似于一维的结果。