不等式的基本性质
对称性;传递性;加法单调性,即同向不等式可加性;乘法单调性;同向正值不等式可乘性;正值不等式可乘方;正值不等式可开方;倒数法则。
对称性;传递性;加法单调性,即同向不等式可加性;乘法单调性;同向正值不等式可乘性;正值不等式可乘方;正值不等式可开方;倒数法则。
不等式就是用大于,小于,大于等于,小于等于连接而成的数学式子,它一般有如下八个基本性质。
如果x>y,那么y
如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)
如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式,不等号方向不变;
如果x>y,z>0,那么xz>yz ,即不等式两边同时乘(或除以)同一个大于0的整式,不等号方向不变;
如果x>y,z<0,那么xz 如果x>y,m>n,那么x+m>y+n; 如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn; 如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数),x的n次幂 通常不等式中的数是实数,字母也代表实数,不等式的一般形式为F(x,y,……,z)≤G(x,y,……,z )(其中不等号也可以为 中某一个),两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域,不等式既可以表达一个命题,也可以表示一个问题。 √ [(a²+b²)/2]≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。 平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数。 “1”的妙用。题目中如果出现了两个式子之和为常数,要求这两个式子的倒数之和的最小值,通常用所求这个式子乘以1,然后把1用前面的常数表示出来,并将两个式子展开即可计算。如果题目已知两个式子倒数之和为常数,求两个式子之和的最小值,方法同上。 调整系数。有时候求解两个式子之积的最大值时,需要这两个式子之和为常数,但是很多时候并不是常数,这时候需要对其中某些系数进行调整,以便使其和为常数。 (1)√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。(当且仅当a=b时,等号成立) (2)√(ab)≤(a+b)/2。(当且仅当a=b时,等号成立) (3)a²+b²≥2ab。(当且仅当a=b时,等号成立) (4)ab≤(a+b)²/4。(当且仅当a=b时,等号成立) (5)||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。(当且仅当a=b时,等号成立) “1”的妙用。题目中如果出现了两个式子之和为常数,要求这两个式子的倒数之和的最小值,通常用所求这个式子乘以1,然后把1用前面的常数表示出来,并将两个式子展开即可计算。如果题目已知两个式子倒数之和为常数,求两个式子之和的最小值,方法同上。 调整系数。有时候求解两个式子之积的最大值时,需要这两个式子之和为常数,但是很多时候并不是常数,这时候需要对其中某些系数进行调整,以便使其和为常数。
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