勾股数有哪些
3、4、5;5、12、13;7、24、25;8、15、17;9、40、41等等。
勾股数,又名毕氏三元数。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股数的依据是勾股定理。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。
勾股定理说明,平面上的直角三角形的两条直角边的长度(古称勾长、股长)的平方和等于斜边长(古称弦长)的平方。反之,若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方,则它是直角三角形(直角所对的边是第三边)。
勾股定理在西方被称为Pythagoras定理,它以公元前6世纪希腊哲学家和数学家的名字命名。可以有理由认为他是数学中最重要的基本定理之一,因为他的推论和推广有着广泛的引用。虽然这样称呼,他也是古代文明中最古老的定理之一,实际上比Pythagoras早一千多年的古巴比伦人就已经发现了这一定理,在Plimpton 322泥板上的数表提供了这方面的证据,这块泥板的年代大约是在公元前1700年。对勾股定理的证明方法,从古至今已有400余种。
据《周髀算经》记载,“昔者周公问与商高曰:请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升.地不可得尺寸而度. 请问数安从出. 商高曰.数之法.出于圆方. 圆出于方.方出于矩. 矩出于九九八十一. 故折矩, 以为句,广三, 股修四. 径隅五. 既方其外.半之一矩. 环而共盘.得成三四五. 两矩共长二十有五.是谓积矩. 故禹之所以治天下者.此数之所生也. 周公曰.大哉言数. 请问用矩之道. 商高曰.平矩以正绳. 偃矩以望高。覆矩以测深.卧矩以知远. 环矩以为圆.合矩以为方. 方属地.圆属天.天圆地方. 方数为典.以方出圆。笠以写天. 天青黑.地黄赤.天数之为笠也.青黑为表.丹黄为里.以象天地之位. 是故.知地者智.知天者圣. 智出于句. 句出于矩. 夫矩之于数.其裁制万物.惟所为耳. 周公曰.善哉。”
(3n、4n、5n)(n是正整数)(这是最著名的一组!俗称“勾三,股四,弦五”。古人把较短的直角边称为勾,较长直角边称为股,而斜边则为弦。) (5n、12n、13n)(n是正整数)
a=2mn
b=m²-n²
c=m²+n²
证:
假设a²+b²=c²,这里研究(a,b)=1的情况(如果不等于1则(a,b)|c,两边除以(a,b)即可)
如果a,b均奇数,则a² + b² = 2(mod 4)(奇数mod4余1),而2不是模4的二次剩余,矛盾,所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k
等式化为4k² = (c+b)(c-b)
显然b,c同奇偶(否则右边等于奇数矛盾)
作代换:M=(c+b)/2, N=(c-b)/2,显然M,N为正整数
往证:(M,N)=1
如果存在质数p,使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a,这与(a,b)=1矛盾
所以(M,N)=1得证。
依照算术基本定理,k² = p₁a₁×p₂a₂×p₃a₃×…,其中a₁,a₂…均为偶数,p₁,p₂,p₃…均为质数
如果对于某个pi,M的pi因子个数为奇数个,那N对应的pi因子必为奇数个(否则加起来不为偶数),从而pi|M, pi|N,(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾 所以对于所有质因子,pi²|M, pi²|N,即M,N都是平方数。
设M = m², N = n²
从而有c+b = 2m², c-b = 2n²,解得c=m²+n², b=m²-n², 从而a=2mn
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