基数是什么意思?
一、二、三、…十、…百、…千、…万等普通整数;作为计算标准或起点的数目。
基数(cardinal number)在数学上,是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应,是两个对等的集合。
称两个集M与N为有相同基数,即|M|=|N|,若存在双射φ:M→N。且|M|≤|N|,若存在单射φ:M→N。
根据对等这种关系对集合进行分类,凡是互相对等的集合就划入同一类。这样,每一个集合都被划入了某一类。任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数,记作|A|(或cardA)。这样,当A 与B同属一个类时,A与B 就有相同的基数,即|A|=|B|。而当 A与B不同属一个类时,它们的基数也不同。
如果把单元素集的基数记作1,两个元素的集合的基数记作2,等等,则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致 。空集的基数也记作0。于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数”。但是,对于无穷集,传统概念没有个数,而按基数概念,无穷集也有基数,例如,任一可数集(也称可列集)与自然数集N有相同的基数,即所有可数集是等基数集。不但如此,还可以证明实数集R与可数集的基数不同。所以集合的基数是个数概念的推广。
基数可以比较大小。假设A,B的基数分别是a,β,即|A|=a,|B|=β,如果A与B的某个子集对等,就称 A 的基数不大于B的基数,记作a≤β,或β≥a。如果 a≤ β,但a≠β( 即A与B不对等 ),就称A的基数小于B的基数,记作a<β,或β>a。在承认选择公理的情况下,可以证明基数的三歧性定理——任何两个集合的基数都可以比较大小,即不存在集合A和B,使得A不能与B的任何子集对等,B也不能与A的任何子集对等。
基数可以进行运算 。设|A|=a ,|B|=β,定义 a+β=|{(a,0):a ∈ A} ∪ {(b,1):b ∈ B}|。另,a与β的积规定为|AxB|,A×B为A与B的笛卡儿积。
对每一个基数,存在一个最小比它大的基数。这在自然数当然是对的。自然数集的基数是 ,康托尔称下一个是 ,相类似的,还定义了如下一个序列:
注意 。连续统假设猜想,就是 。
连续统假设是与一般集论公理(即Zermelo-Fraenkel 公理系统加上选择公理)独立的。
更一般的假设,即 。
广义连续统假设,就是对所有无穷基数 ,都不存在界乎 与 之间的基数。
-
老吾老以及人之老这句话是谁说的
老吾老以及人之老这句话是谁说的的答案是:孟子“老吾老以及人之老”出自《孟子·梁惠王上》一文,指的是在赡养孝敬自己的长辈时不应忘记其他与自己没有亲缘关系的老人。在抚养教育自己的小孩时不应忘记其他与自己没有血缘关系的小孩。孟子(约公元前372年—公元前2...
-
中国哪个省的茶叶最好
中国哪个省的茶叶最好的答案是:安徽省黄山毛峰:中国十大名茶之一,产于安徽省黄山,属于绿茶,该茶汤色清碧微黄,滋味甘醇,香气如兰,回味悠长。六安瓜片:又称片茶,是全世界唯一无芽无梗的茶叶,茶味浓而不苦,且无青草味。太平猴魁:绿茶类的尖茶,色、香、味、形皆独具一格,茶叶扁平...
-
茅台镇在哪里
茅台镇在哪里的答案是:贵州省遵义市仁怀市茅台镇位于贵州高原西北部,大娄山脉西段北侧,北靠遵义,南临川南。茅台镇地处赤水河畔,是川黔水陆交通的咽喉要地;在郁郁葱葱的河滨地带,建有“红军烈士陵园”和“红军渡河纪念碑”,赤水河航运贯穿全境,仁蔺、茅丹、茅习、遵茅公...
-
半部论语治天下是谁的典故
半部论语治天下是谁的典故的答案是:赵普半部论语治天下,所谓“半部《论语》治天下”一说,据相关专家宋定国教授考证,在赵普生前及整个北宋,一直到南宋朱熹生前(1200年),都未曾出笼。在朱熹将《论语》和《孟子》、《大学》、《中庸》称作《四书》并列入儒家经典,大肆宣传...