数列有界一定收敛吗

有界数列不一定收敛。例如，已知数列{(-1)^n}是有界的，但它却是发散的。

换句话说，有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

又例如数列{b(n)}，b(n)=(-1)^n，|b(n)|u003c=1{b(n)}有界，b(n)为摆动数列，但是不收敛。数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。假设存在定值a，任意n有{An（n为下角标）=B，称数列{An}有下界B，如果同时存在A、B使得数列{An}的值在区间[A,B]内，数列有界。数列{Xn}满足：对一切n有Xn≤M（其中M是与n无关的常数）称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界。

对一切n有Xn≥m（其中m是与n无关的常数）称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界。一个数列{Xn}，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列{Xn}有界的一个等价定义是：存在正实数X，使得数列的所有项都满足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。

数列收敛必有界，但数列有界不一定收敛。即，数列有界是数列收敛的必要不充分条件。发散数列有可能是有界数列，有界数列也可能是发散数列。

如：1，-1，1，-1，……为发散数列，同时也是有界数列。无穷小数列一定是收敛数列和有界数列；无穷大数列一定是发散数列和无界数列，并且一定不是收敛数列。收敛数列的所有子列都收敛，并且这些子列和这个数列本身有相同的极限值。

在实数范围内，如果一个数列单调有界，则这个数列一定是收敛数列。增、减或改变一个收敛数列的有限项，不影响这个数列的收敛性和极限值。有限个无穷小数列与有界数列的乘积必收敛，并且极限值为0。两个收敛数列的和、差、积仍为收敛数列；两个发散数列的和、差、积既可能是发散数列，也可能是收敛数列。