幂函数求导
最佳答案为:(x^a)'=ax^(a-1)。
证明:y=x^a
两边取对数lny=alnx
两边对x求导(1/y)*y'=a/x
所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)
y=a^x
两边同时取对数:
lny=xlna
两边同时对x求导数:
==>y'/y=lna
==>y'=ylna=a^xlna
幂函数:一般的,形如y=x(a为实数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的,而对于a取无理数时,初学者则不大容易理解了。因此,在初等函数里,我们不要求掌握指数为无理数的问题,只需接受它作为一个已知事实即可,因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。
幂函数是基本初等函数之一。
一般地,y=xα(α为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注:y=x-1=1/x、y=x0时x≠0)等都是幂函数。
特性:
对于α的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:
首先我们知道如果 ,q和p都是整数,则 ,如果q是奇数,函数的定义域是R;如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。
当指数α是负整数时,设α=-k,则 ,显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:
α小于0时,x不等于0;
α的分母为偶数时,x不小于0;
α的分母为奇数时,x取R。
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