一阶线性微分方程通解公式是什么?
y’+p(x)y=g(x)。
一阶线性微分方程可以写成y’+p(x)y=g(x)。形如y' P(x)y=Q(x)的线性微分方程称之为一阶线性微分方程,Q(x)称为随意项。一阶指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性,指的是方程简化后的每一项关于y、y’的次数为0或1。
其通解形式为
实际上公式:y'+Py=Q之通解为y=[e^(-∫Pdx)]{∫Q[e^(∫Pdx)]dx+C}中要求每一个不定积分都要算出具体的原函数且不再加C,其中C为常数,由函数的初始条件决定。
而本题∫Pdx=ax,但∫Q[e^(ax)]dx=∫f(x)[e^(ax)]dx中,因为有抽象函数f(x)无法算出具体的原函数,所以要用不定积分与变限积分的公式:∫f(x)dx=∫[a→x]f(t)dt+C,本题用此公式取上式的a=0,C换为C1,(当然被积函数也要换成本题的被积函数),令C=u(x),代入公式后C1+C换为C2再换为C。这样才能代入初始条件y(0)=0,求出C。
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