公式e^(iπ)+1=0的发明者是谁?
欧拉。莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler,1707年4月5日-1783年9月18日) 是瑞士数学家和物理学家。
他被称为历史上最伟大的两位数学家之一(另一位是卡尔·弗里德里克·高斯)。
欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人,例如:y = F(x) (函数的定义由莱布尼兹在1694年给出)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。欧拉出生于瑞士,在那里受教育。欧拉是一位数学神童。
他作为数学教授,先后任教于圣彼得堡和柏林,尔后再返圣彼得堡。欧拉是史上发表论文数第二多的数学家,全集共计75卷;他的纪录一直到了20世纪才被保罗·埃尔德什(PaulErdos)打破。他发表的论文达856篇(另一说865篇),着作有32部(另一说31部)。
产量之多,无人能及。欧拉实际上支配了18世纪至现在的数学;对于当时新发明的微积分,他推导出了很多结果。在1735年至1771年,欧拉的双眼先後失明(据说是因双眼直接观察太阳)。
尽管人生最后七年,欧拉的双目完全失明,他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。复变函数中,e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式,e是自然对数的底,i是虚数单位。拓扑学中,在任何一个规则球面地图上,用 R记区域个 数 ,V记顶点个数 ,E记边界个数 ,则 R+ V- E= 2,这就是欧拉定理 ,它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ,后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ,我们称其为欧拉定理 ,在国外也有人称其 为 Descartes定理。
R+ V- E= 2就是欧拉公式。
e的i次方是什么?
由欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx,所以e^i=cos1+isin1。e^ix=cosx+isinx的证明:因为e^x=1+x/1+x^2/2+x^3/3+x^4/4。
cos x=1-x^2/2+x^4/4x^6/6。
sin x=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7。即在去掉 X 和 Y 之间的边界时 ,不论何种情况都必定有“减少的区域数 + 减少的顶点数 = 减少的边界数”我们将上述过程反过来 (即将 X 和 Y之间去掉的边 界又照原样画上 ) ,就又成为 R= m+ 1的地图了 ,在 这一过程中必然是“增加的区域数 + 增加的顶点数 = 增加的边界数”。因此 ,若 R= m (m≥2)时欧拉定理成立 ,则 R= m+ 1时欧拉定理也成立.。由 ( 1)和 ( 2)可知 ,对于任何正整数 R≥2欧拉 定理成立。
e的i次方是什么?
e的i次方是:由欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx所以e^i=cos1+isin1。因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!在e^x的展开式中把x换成±ix,所以e^±ix=cosx±isinx。
0与正整数次方:一个数的零次方非零数的0次方都等于1。
e的iθ 等于什么?
欧拉公式:e^(iθ)=cosθ+isinθ。复变函数中,e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式,e是自然对数的底,i是虚数单位。
拓扑学中,在任何一个规则球面地图上,用 R记区域个 数 ,V记顶点个数 ,E记边界个数 ,则 R+ V- E= 2,这就是欧拉定理 ,它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ,后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ,我们称其为欧拉定理 ,在国外也有人称其 为 Descartes定理。
相关信息:几何学的一门分科。研究几何图形经过连续形变后仍能保持的性质。包括点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑等分支。在代数拓扑中,欧拉示性数(Euler characteristic)是一个拓扑不变量(事实上,是同伦不变量),对于一大类拓扑空间有定义。
数学有关三角与复数的问题
复数中有著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+i*sinθ因此[cos5/3π+(sin5/3π)i]^5=[e^(i*5/3π)]^5=e^(i*5/3π*5)=cos(5/3π*5)+i*sin(5/3π*5)另外,欧拉公式的证明比较麻烦,需要用到高等数学的无穷级数展开,简要证明如下:设z=x+iy这样e^z=e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x=e^(iy)用牛顿幂级数展开式e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+......把e^(iy)展开,就得到e^z/e^x=e^(iy)=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.....=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....)+i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)由于cosy=1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,siny=y-y^3/3!+y^5/5!-....所以e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny)即e^(iy)=(cosy+isiny)这就是著名的“欧拉公式”欧拉公式:e^(iθ)=cosθ+i(sinθ)的证明过程
实际上在定义 e^(x+iy) 的值具体是多少之前,讨论它是没意义的 而 e^(x+iy)=e^xcosy+ie^xsiny 正可以作为单变量的复变函数 f(z)=e^z 在 z=x+iy 处的定义 所以从这点来看欧拉公式是不需要证明的,你看到的证明是怎么回事呢? 是因为有些时候我们用另一种定义去定义 f(z)=e^z 的值, 那就是用幂级数 f(z)=e^z=1+z+z^2/2+...+z^n/n!+...来定义, 而那个证明就是证明了这两种定义之间的等价性 现在我们有了复指数函数的定义(而且是出自两种不同的方式,却相互和谐的定义) 但是对三角函数,我们还只能处理实变量的情况,现在我们要继续推广出复变量的三角函数. 因为我们希望复变量三角函数仍然满足欧拉公式 e^z=cosz+isinz 同时注意到 e^(-z)=cos(-z)+isin(-z)=cosz-isinz 所以我们就"顺水推舟地"定义 Cosz=(e^z+e^(-z))/2 类似的,定义 Sinz=(e^z-e^(-z))/2i,Tanz=Sinz/Cosz 这样定义出来的复变量的三角函数当然也符合欧拉公式了,不过此时的正余弦函数失去了“有界性”,即对任意的复数w,不能总保证 Sinw 或者 Cosw 的模不大于1 这样欧拉公式 e^z=Cosz+iSinz 就对任意的复数z都成立了.-
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