57和72的最大公因数是多少
57和72的最大公因数是多少的答案是:3
最大公约数,也称最大公因数、最大公因子,指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a,b的最大公约数记为(a,b),同样的,a,b,c的最大公约数记为(a,b,c),多个整数的最大公约数也有同样的记号。
求最大公约数有多种方法,常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数,a,b的最小公倍数记为[a,b]。
最大公约数(greatest common divisor,简写为gcd;
或highest common factor,简写为hcf),指某几个整数共有因子中最大的一个。
能够整除一个整数的整数称为其的约数(如5是10约数);
能够被一个整数整除的整数称为其的倍数(如10是5的倍数);
如果一个数既是数A的约数,又是数B的约数,称为A,B的公约数,A,B的公约数中最大的一个(可以包括AB自身)称为AB的最大公约数。
如果有一个自然数a能被自然数b整除,则称a为b的倍数,b为a的约数。几个自然数公有的约数,叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数,称为这几个自然数的最大公约数。
例: 在2、4、6中,2就是2,4,6的最大公约数。
早在公元前300年左右,欧几里得就在他的著作《几何原本》中给出了高效的解法——辗转相除法。
辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单,假设用f(x, y)表示x,y的最大公约数,取k = x/y,b = x%y,则x = ky + b,如果一个数能够同时整除x和y,则必能同时整除b和y;
而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y,即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的,其最大公约数也是相同的,则有f(x, y)= f(y, x%y)(y > 0),如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数,直到其中一个数为0,剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。
例如,12和30的公约数有:1、2、3、6,其中6就是12和30的最大公约数。
辗转相除法是古希腊求两个正整数的最大公约数的,也叫欧几里德算法,其方法是用较大的数除以较小的数,上面较小的除数和得出的余数构成新的一对数,继续做上面的除法,直到出现能够整除的两个数,其中较小的数(即除数)就是最大公约数。以求288和123的最大公约数为例,操作如下:
288÷123=2余42;
123÷42=2余39;
42÷39=1余3;
39÷3=13;
所以3就是288和123的最大公约数。
利用分解质因数的方法可以简便的求出两个数的最大公约数,
如:126=2×3×3×7;
396=2×2×3×3×11;
126和396的最大公因数是=2×3×3=18。
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