空集是任何集合的真子集,这句话对吗
空集是比较烦人的东西,按照定义,空集就是没有元素的集合,却到处都有他的影子。自己啥都没有,还无处不在,够烦人的。集合论里有一个早就熟知的论断:空集是任何集合的子集。
1、今天就来挖掘这句话里面包含的含义。
2、说明一点,个人相对于”命题“一词而言,更倾心于”论断“一词。
3、这里的”论断“一词就是中学数学里的”命题“一词。
4、 我当初理解这个论断,是借助于集合运算的一个性质: A∩∅=∅………………………………① 因为在B不是空集的时候,若A∩B=B,则B是A的子集,所以以此类推空集是任何集合的子集,而要证明①式,只需要利用交集的定义即可,由此就变得顺其自然。
5、不过若我们考虑子集的定义,发现这里面还是有东西可挖的。
6、 B是A的子集,当且仅当若x∈B,则x∈A。
7、(顺便说说,没办法在网页上直接输入包含符号真的很麻烦) 现在我们用来审视”空集是任何集合的子集”这句话: ∅是A的子集↔若x∈∅,则x∈A。
8、 要让左边成立,必须让右边是个真论断,那么右边是对还是错?有些人说这对,有的人说是错。
9、我们要看到,右边是一个“若p则q”形式的论断,而这里的p是一个假论断,也就是其条件本身就是假的,自然我们就无法断定q的真假,不过我们可以根据逆否论断的观点来看这个问题: 若x∈∅,则x∈A↔若x∉A,则x∉∅ 我们知道,右边论断的真假性与左边论断的真假性是一致的。
10、而右边正确不?显然,不管是在什么情况下,x∉∅总是成立的,由此断定论断“若x∉A,则x∉∅”是一个真论断,那么“若x∈∅,则x∈A”也是一个真论断,从而“∅是A的子集”也是一个真论断。
11、 就像上面的例子一样,考虑论断r:“若p则q”,如果假设p本身就是假,则论断r一定为真。
12、当假设在任何情况下也不成立,这样的论断我们就称之为”虚真论断“。
13、我们可以用逆否论断的观点来证明: 若p则q↔若非q则非p。
14、 由于p为假,所以非p一定为真,也就是为真,由逆否论断与原论断真假性一致的性质,得出论断”若p则q,其中p为假“为真论断。
15、 所以,我们的”空集是任何集合的子集“这句话,其实就是”虚真论断“的一个案例。
16、 由虚真论断的观点,可以得到更加有趣的东西。
17、我们知道,两个空集的交集与并集是空集,那么你是否想过这个问题?现在考虑一个比空集还要空的问题:两个根本就不存在的集合的交集与并集是什么呢?说起来还有点绕口,这就是我们数学上的”集族“概念,不要觉得这个多高深,所谓集族,就是当一个集合的元素也是集合的时候,这个集合就称之为集族,明天我们就介绍这个很有意思的问题。
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